14 - 静电学公式汇总

静电学公式汇总

静电学核心公式与定理梳理。逻辑链：库仑定律 → 电场强度 → 高斯定理/环路定理 → 电势 → 泊松方程 → 静电能

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1. 库仑定律与叠加原理

库仑定律

$${\vec{F}}_{12}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q_1{q}_2}{r_{12}^2}{\hat{r}}_{12}$$

叠加原理

$$\vec{F}=\sum _{i=1}^n{\vec{F}}_i=\frac{q_0}{4\pi {\epsilon }_0}\sum _{i=1}^n\frac{q_i}{r_i^2}{\hat{r}}_i$$ $$\vec{F}=\frac{q_0}{4\pi {\epsilon }_0}\iiint \frac{dq}{r^2}\hat{r}$$

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2. 电场强度

定义

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q}$$

点电荷电场

$$\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}\hat{r}$$

叠加法求电场

$$\vec{E}=\iiint \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{dq}{r^2}\hat{r}$$

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3. 电通量与高斯定理

电通量

$$\Phi ={\iint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}$$

高斯定理

$$\boxed{{\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\frac{\sum q}{{\epsilon }_0}}$$ $$\boxed{\nabla \cdot \vec{E}=\frac{\rho }{{\epsilon }_0}}$$

静电场是有源场，电荷是源。

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4. 电场环路定理

$$\boxed{\oint \vec{E}\cdot d\vec{l}=0}$$ $$\boxed{\nabla \times \vec{E}=0}$$

静电场无旋（保守场），可引入电势。

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5. 电势

定义

$$\phi =\frac{E_p}{q}=-{\int }_{r_0}^r\vec{E}\cdot d\vec{l}$$

电势差

$$U_{ab}={\phi }_a-{\phi }_b={\int }_a^b\vec{E}\cdot d\vec{l}$$

场强与电势的微分关系

$$\boxed{\vec{E}=-\nabla \phi }$$

$\vec{E}$ 指向 $\phi$ 下降最快的方向。

点电荷电势

$$\phi =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r}$$

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6. 电势能

电势能

$$E_p=q\phi$$

电场力做功

$$W_{ab}=q({\phi }_a-{\phi }_b)=E_{pa}-E_{pb}$$

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7. 泊松方程

$$\boxed{{\nabla }^2\phi +\frac{\rho }{{\epsilon }_0}=0}$$

$\rho =0$ 时退化为拉普拉斯方程 ${\nabla }^2\phi =0$。结合边界条件可唯一确定电势分布。

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8. 典型电场分布

系统	电场	方法
点电荷	$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$	高斯定理
无限长直导线	$E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}$	高斯定理
无限大平面	$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$	高斯定理
均匀带电球壳(外)	$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}$	高斯定理
均匀带电球壳(内)	$E=0$	高斯定理

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9. 电偶极子

电偶极矩

$$\vec{p}=q\vec{l}$$

远处电势

$$\phi =\frac{p\cos \theta }{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=\frac{\vec{p}\cdot \hat{r}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$$

匀强电场中的力矩与势能

$$\vec{M}=\vec{p}\times \vec{E},E_p=-\vec{p}\cdot \vec{E}$$

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10. 静电能

点电荷系统互能

$$W=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n{q}_i{\phi }_i$$

连续分布静电能

$$W=\frac{1}{2}\iiint \rho \phi dV$$

电场能量密度

$$\boxed{w=\frac{1}{2}{\epsilon }_0{E}^2}$$

总静电能（场视角）

$$W=\frac{1}{2}{\epsilon }_0\iiint E^{2}dV$$

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公式脉络图

库仑定律 ────→ 叠加原理
     ↘          │
       电场强度 ────→ 电通量 ────→ 高斯定理 ────→ 泊松方程
         │                      ↑
         ├──→ 电场环路定理 ────→ 电势 ────→ 电势分布
         │         │             │
         │         │             ├──→ 电势能 ────→ 静电能
         │         │             │
         ├──→ 电场分布          └──→ 电偶极子
         └──→ 电偶极子

知识图谱

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解题思路

求电场分布：

1. 对称性好 → 高斯定理：${\oint }_S\vec{E}\cdot d\vec{S}=\sum q/{\epsilon }_0$
2. 对称性差 → 叠加法：$\vec{E}=\iiint dq/(4\pi {\epsilon }_0{r}^2)\hat{r}$，或先求电势再求梯度

求电势分布：

1. 已知电场 → $\phi =-\int \vec{E}\cdot d\vec{l}$
2. 已知电荷 → $\phi =\iiint dq/(4\pi {\epsilon }_{0}r)$（叠加法）
3. 已知泊松方程 → 解 ${\nabla }^2\phi +\rho /{\epsilon }_0=0$（边值问题）

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相关笔记：1 - 库仑定律 | 2 - 电场强度 | 3 - 叠加原理 | 4 - 电通量 | 5 - 高斯定理 | 6 - 电场环路定理 | 7 - 电势 | 8 - 电势能 | 9 - 电势分布 | 10 - 电偶极子 | 11 - 电场分布 | 12 - 泊松方程 | 13 - 静电能